Mathadonf de D. Strainchamps

Accueil > Cours magistraux > Stav > Nombre dérivé

Nombre dérivé

lundi 14 avril 2014, par mathadonf

Introduction

Pour une fonction f donnée on peut calculer une formule qui s’appelle le taux d’accroissement t={f(x_{2}) - f(x_{1})}\over {x_{2} - x_{1}}.
Si pour tout x_{1} et x_{2} appartenant à intervalle I avec x_{2} > x_{1} ce taux est positif, la fonction est dite croissante sur I, si ce taux est négatif, la fonction est dite décroissante sur I.

Leibniz le père du calcul infinitésimal (avec Newton qui lui a fait un procès inégal pour dire qu’il était le premier à découvrir le calcul infinitésimal) s’est intéresser de savoir ce que devenait le taux d’accroissement lorsque x_{2} - x_{1} se rapprochait de zero

Voyons graphiquement ce que celà donne.

Vous avez deux points M_{0}(x_{0} ; f(x_{0})) et le point M(x_{0} + h ; f(x_{0} + h))x_{1} est remplacé par x_{0} et x_{2} est remplacé par x_{0} + h. M glisse sur la courbe vers M_{0}.

Le coéfficient directeur m de l’équation y=mx+p de la droite tracée sur le graphique est égale à :

{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}\over {(x_{0} + h) - x_{0}}

ET QUAND h tend vers zéro, ce coefficient directeur est celui de la tangente en M_{0}(x_{0} ; f(x_{0})). Ce coefficient est appelé nombre dérivée de f en x_{0} et noté f’(x_{0}) f prime de x_{0}.

Notion de limites en zéro

Exemple de deux calcul de nombre dérivée