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Probabilités conditionnelles

lundi 14 avril 2014, par mathadonf

PROBABILITES CONDITIONNELLES

Exemple :

Une classe de 35 élèves est composée de 20 garçons et 15 filles.
15 garçons et 7 filles choisissent l’anglais.
Les autres choisissent l’espagnol. (Chacun ne choisit qu’une langue)

On note A l’événement : "Il a choisi l’Anglais"

On note B : "C’est un garçon"

On note A\cap B : "C’est un garçon et il a choisi l’anglais"

Donc \overline {A} est : "Il a choisi l’espagnol"

Donc \overline {B} est : "C’est une fille"

1°) Etablir le diagramme de Caroll
2°) Soit l’événement A/B qui se lit A sachant B c’est à dire "Il a choisi l’anglais sachant de c’est un garçon"

P(A/B) se note P_{B}(A)... C’est une probabilité conditionnelle

On va montrer que P_{B}(A)={P(A\cap B)\over P(B)}

1°) Diagramme de Caroll

Anglais A Espagnol \overline {A} Total
Fille \overline {B} 7 8 15
Garçon B 15 5 20
Total 22 13 35

D’après le tableau il y a 15 élèves qui ont choisi l’anglais sachant que c’est un garçon sur 20 garçon.

Donc P_{B}(A)={15\over 20}

Or P(A\cap B)={15\over 35}

Et P(B)={20\over 35}

On a donc {P(A\cap B)\over P(B)}={{15\over 35}\over {20\over 35}}={15\over 20}=P_{B}(A) CQFD

Ensuite on peut faire un arbre de probabilité